城读 | 城市地铁线路图是怎么设计出来的？

2026年1月24日

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城市地铁线路图是怎么设计出来的？

地图的数学之道。

Rowińska, P. (2024). Mapmatics: A mathematician’s guide to navigating the world. The Belknap Press of Harvard University Press.

Sources: https://www.hup.harvard.edu/books/9780674294233

https://www.paulinarowinska.com/mapmatics

如今，我们无法脱离地图而生活。无论是本地通勤出行，还是前往陌生之地旅行，需要查看地铁图或使用各种地图导航应用；无论是理解新闻，例如特朗普采用多种手段试图吞并格陵兰，看了地图就能理解大半；还是对抗流行病，从19世纪中期伦敦霍乱地图开始，制图已经成为医疗地理学和流行病学的标准研究方法；无论是追捕罪犯，犯罪地图已经成为治安标配，还是搜寻失踪飞机，我们都依赖地图。

在《数绘地图：一个数学家的世界导航指南（Mapmatics: A Mathematician's Guide to Navigating the World）》（英国版副标题略有改动《数绘地图：我们如何通过数字导航世界（Mapmatics: How We Navigate the World Through Numbers）》一书中，波兰数学家保利娜·罗温斯卡博士指出每张地图背后，都有数学，地图的发展离不开数学，而地图本身也反过来催生了许多数学突破。一旦我们意识到数学与制图之间这种深刻的联系，便再也无法“视而不见”。本书讲述了制图学背后的数学基础，以及制图实践如何反过来影响数学的发展。

贯穿全书的主题——数学与制图学如何彼此塑造、相互启发——这正是本书书名的由来。主标题Mapmatics是一个人造混成词（portmanteau），由Map + Mathematics混合而来，而且更巧妙的是，Mapmatics与Mathematics读起来押韵，Mapmatics既体现了本书的主旨，读起来又琅琅上口，可谓神来之词。Mapmatics意为地图的数学之道，难以找到对应的中文词汇，我将其意译为“数绘地图”，原文的押韵无法传达。

除了引言和结论之外，本书分为八章。每章专注于一个具体的制图问题及其不同的数学解法，每章的主标题都采用一个形容词，副标题则列出具体问题，第一章《弯曲：如何描绘地球的形态？》（Curved: How to Describe the Earth），第二章《平面化：如何制作地图？》（Flat: How to Make a Map），第三章《比例缩放：如何测量边界线》（Scaled: How to Measure a Line），第四章《测距：如何导航？》（Distanced: How to Navigate），第五章《连接：如何简化地图？》（Connected: How to Simplify a Map），第六章《分化：如何塑造社会？》（Divided: How to Shape Society)，第七章《发现：如何拯救生命？》（Found: How to Save a Life），第八章《深入：如何绘制不可见的地图？》（Deep: How to Map the Invisible）。

从扭曲我们看世界方式的墨卡托投影，到重新定义城市导航的伦敦地铁地图，本书为数学与地图之间的关系提供了通俗的解释。本书围绕制图过程中遇到的种种问题及其相关的数学解决办法，探讨数学如何影响我们制作地图、并由此观看世界的方式。地图是现实的再现，但只有理解其背后的数学原理，我们才能真正发挥这些视觉工具的价值。否则，我们很容易得出错误结论，并在无意中继承制图者的偏见——无论这些偏见是有意的还是无意的。

例如，在平面地图上，格陵兰岛看起来几乎和整个非洲一样大；但在地球仪上，这座白色岛屿在面积上却被非洲大陆远远压倒。

16 世纪，佛兰德斯制图师杰拉杜斯·墨卡托（Gerardus Mercator）绘制了著名的墨卡托地图，其特征是由经线和纬线构成的直角网格。尽管这种地图至今仍在使用，但它在视觉上具有强烈的误导性。地图对面积的扭曲，恰好强化了一种以北方为中心的世界观——让北半球显得更大，从而似乎也更强大。将近五百年后的今天，这种地图仍然是世界的“标准视角”。从小学开始，我们便在这种世界图景中接受教育，并在不知不觉中继承了其中所隐含的优越性想象，它深刻影响着我们看待祖国与他国的方式。地图不仅塑造了我们对空间的理解，也在无形中形塑着我们对其他国家的认知。

墨卡托地图之所以产生扭曲，并非源于制图者的恶意或无能。1827年，博学而又古怪、脾气暴躁却才华横溢的数学家卡尔·弗里德里希·高斯，从数学上证明了一个事实：不可能将三维的地球完美地转换为二维的平面地图。

如今，墨卡托地图常常遭到批评，但我们依然把它的电子版本装进了口袋里。它能够保持地球表面各条线之间的角度关系，使我们能够轻松辨认方向——尤其是“北方”——这正是它在今天仍然具有导航价值的原因，与它诞生之初并无二致。不过，它理应附带一条警示：该图会严重扭曲面积——这相当于制图学版本的“后视镜中的物体比看起来的更近”。

城市居民出行导航时，最常用有两种地图，第一种是拓扑式的地铁线路图：它们告诉我们该乘哪趟车，却并不提供目的地之间的实际距离信息。第二种是度量型的城市平面图：它们能帮助我们规划精确的步行/行驶路线，并测量真实距离。

让我们从世界上第一个地铁线路图讲起，即伦敦地铁线路图。

凡是到访过伦敦的人，几乎都对那张由色彩鲜明的直线构成、在主要站点交汇又分开的整洁网络印象深刻。然而，我们今天所熟知的地铁图，并非一开始就是这个样子。

那么，伦敦地铁线路图是怎么设计出来的？

19 世纪下半叶，随着伦敦公共交通系统的不断扩张——当时主要由马车公交构成——人们对更为详尽的地图提出了需求。到 1908 年，伦敦地铁网络已经发展到必须拥有一张独立地图的程度。

最初的地铁图，是将地铁直接叠加在城市平面图之上的。这种看似自然的做法在最初几十年尚且可行，但随着地铁系统的飞速发展，地图变得越来越拥挤、越来越难以阅读。

贝克地铁图之前的典型的伦敦地铁图

来源：

https://www.theguardian.com/artanddesign/2024/sep/21/harry-beck-tube-map-london-transport-archive-sale#img-4

1920 年代中期，年轻的亨利·贝克（Henry Beck）开始在伦敦地铁信号办公室担任工程制图员。

贝克每天坐地铁通勤，早已被混乱的地铁图折磨得不胜其烦，于是开始为自己草绘一张全新的地图。

贝克的新设计彻底抛弃了地理细节。既然在地下行走，那还操心地理位置做什么？重要的是线路之间的连接。

于是，贝克删除了所有非必要信息：街道、公园、建筑统统消失，只保留了泰晤士河作为唯一的地理参照。他将原本蜿蜒曲折的地铁线路全部“拉直”，使它们只沿三个方向延伸：水平、垂直，或 45 度对角线。为了让通勤者更容易辨认，他还为每一条线路分配了独立的颜色。

伦敦地铁公司最初认为这一设计过于离经叛道，一度仍坚持使用地理准确的地图。但在1933 年，贝克带着改进后的版本再次提交方案。这一次，他的设计被印制为口袋地图，印刷了500 份。

贝克 1933 年地铁图

来源：

https://www.theguardian.com/artanddesign/2024/sep/21/harry-beck-tube-map-london-transport-archive-sale

结果出乎所有人意料：伦敦市民对它爱不释手。很快，新版口袋地图和张贴海报陆续推出。贝克的地图，成功地将公众眼中“混乱复杂”的地铁系统，转变为清晰、易于导航的城市网络。

通过缩短遥远站点之间的视觉距离，他还在无形中鼓励伦敦人离开拥挤的市中心，向郊区出行——那些地方，看起来不再那么遥不可及。

贝克因其设计获得了五英镑五先令的报酬，生前未获署名。直到2001 年以来，地图上新增了致谢标识。2006 年，它被 BBC 举办的“伟大的英国设计探索”竞赛评为 20 世纪第二佳英国设计，仅次于协和飞机。

贝克的伦敦地铁图成为伦敦必备的指南，更成为全球交通地图效仿的模板。

贝克与他设计的伦敦地图线路图

来源：

https://www.theguardian.com/artanddesign/2024/sep/21/harry-beck-tube-map-london-transport-archive-sale#img-3

此外，贝克的设计还成为数学一个新分支的典型象征——拓扑学。

在一种被称为拓扑学的数学领域中，拓扑一词源自古希腊语 topos，意为“地方、位置”，精确的形状和距离被视为无关紧要的细节，事实上，它们往往反而掩盖了真正有趣的性质。

在拓扑学中，如果一个物体可以在不剪断、不撕裂、不粘合的前提下，通过拉伸、弯曲或挤压变成另一个物体，那么这两个物体就被认为是“相同的”。

可以说，拓扑学是一门关于“连接”的学问。

当我们拉伸、弯折或压缩一个物体时——只要不撕裂或粘合——似乎它的所有几何属性都消失了。但有一件事始终保留：点与点之间的连接关系。

这种连续变形被称为同胚变换（homeomorphism，源自希腊语 homoios，意为“相似”，以及 morphē，“形状”）。在这种变换下，如果两个点原本彼此接近，那么变形之后它们仍然相对接近。拓扑学证明：所有同胚变换都会保留连接关系与点的顺序。

这，正是贝克地图背后的思想。

贝克可以随意弯曲、拉伸、压缩伦敦地铁线路，但他始终保留了对通勤者而言最关键的两点：连接关系与站点顺序。

如果两个站点位于同一条线路上，并且有明确的先后顺序，那么在贝克的地图上，它们就如此呈现。只要乘客关心的是“我在哪里”和“我要到哪里去”，那么这张拓扑意义上的伦敦地铁图，已经完全满足需求。

贝克地图的巨大成功，使得今天的伦敦交通局以及世界各地的城市交通管理机构，都会定期发布本地交通系统的拓扑线路图。

得益于这种拓扑式地铁图，我们在规划路线时，不必再考虑复杂的城市地理结构。

拓扑地图对于帮助我们选择哪条地铁线路可以到达目的地表现特别出色，特别是像伦敦这样布局复杂的城市尤为有效。拓扑地图可以清楚地告诉我们身在何处、该搭乘哪条线路。

但是，拓扑地图不能提供选择最快路线所需的信息。若要进行精确的距离估计，我们需要度量型地图。

城图

下图展示了肌肉力量（简称肌力）与肌肉量在整个生命周期中的变化轨迹。每个人达到肌肉峰值表现的年龄因活动类型不同而有所差异，但通常位于25–35 岁之间（如图左侧黑色竖虚线所示）。图中右侧显示了三条曲线：绿色曲线代表身体高度活跃的人群，即长期运动人群；蓝色曲线代表普通活动人群，即每周利用2–4小时休闲时间进行身体锻炼的人群；红色曲线代表久坐不动人群。这三条曲线代表了三种不同表型范围，其共同点是：体力峰值表现大约出现在25–30岁，且肌力和肌肉量的丧失在早期进展缓慢，但会随年龄增长而逐渐加速。

在临床前阶段，个体的日常活动尚未受到衰老的明显影响；而当个体需要通过减少或调整体力活动来应对肌肉量和肌力下降时，则标志着进入临床阶段（上方水平虚线）。随着衰老过程的进一步发展，最终可能导致功能障碍或失能（下方水平虚线）。需要注意的是，人群中不同表型范围的形成，是基因与生活方式共同作用的结果。

变老是不可避免的，但是否变得衰弱取决于是否及早进行增肌运动，保持较高的肌力和肌肉量的基点，长期保持运动的人衰老时肌肉量和肌力的起点更高，衰老速度也更慢，晚年生活质量也更高。从现在开始就去举铁增肌，老年的你会感谢现在的你。